2008年10月8日水曜日

論理的誤謬,思考の過程

ある命題,
  1. コインを投げて表が出る確率0.5,裏が出る確率0.5だとする.
  2. コインを投げて2回連続で表が出る確率は0.25となる.
  3. よって,次にコインを投げた時に表が出る確率は0.25以下となる.

これ,3の文がまちがいなのですが,...3回目でコインの表が出る確率は0.5です.

僕は,最初,ただただ直感的に3がおかしいと感じました.その後に,「試行(コインを投げる事)の独立性(現在の試行が過去,未来に依存しないで決定する)」,という理由が頭に浮かびました.

今日の朝,大学にくるまでの歩いている時になんで「直感的」におかしいと「感じた」のかなと,しげしげと考えてしまいました.「直感的に感じる」,ほとんど反射的におかしいと思えたわけです.なんでかなぁと.基本的に,論理的に考えなくては,「おかしい」とは思えないことなのですが,意識的に考えることなくおかしいと思えたわけです.往々にして,まちがいや違和感に気つく時は,その理由よりもその感覚が先に意識にのぼるという気がします.後から,理由を探しに思考する.

時に,違和感を感じながら,その理由が見つからなかったりするのですが.今回の場合,「試行の独立性」という理由が見つからなかったら,もしくは「試行の独立性」だけではわからない人がいたら,僕はどういう説明をしたのだろうとも考えていました.たぶん,確率を計算するのだろうな.

2回連続で表が出る確率:
 P(H, H) = P(H)・P(H)
       = 0.25
3回目で表が出る確率:
 P(H | H, H) = P(H, H, H)/P(H, H)
       =P(H)・P(H)・P(H)/P(H)・P(H)
       =0.125/0.25        
       =0.5

やっぱり3の文が間違っていて,上記の命題は論理的におかしい,となり...間違っている事は,直感的にわかるのに,それを説明するのにはここまでしなければいけない.


追記,
一応,...
表が出る確率 P(H) = 0.5 ,
「・」は乗算記号,「/」は除算記号,
P(A, B)はAとBの同時確率,
P(A|B)はBが起きる条件下でのAの確率,条件付き確率,
P(A|B) = P(A, B)/P(B).
 

1 件のコメント:

ShIka さんのコメント...

さらに,追記.

直感が働いてくれればいいですが,働いてくれなければ計算するまで気付けないわけですよね...僕の頭が気付いてくれるあたりは研究訓練のたまものなのでしょうか.

一方で,野球のイチロー選手は守備練習の時,わざとボールから目をそらして取る練習をするそうです.長いシーズンの間,集中が切れて無意識にボールから目が離れる事はありえるから,その対策だとか.

直感が鈍って気付かなくても,もしくは間違いの理由を端的に表現できない時のために,きちんと計算するなり,まちがいに気付く別の方法も訓練しておきたい,と思ってます.